算法:货币兑换问题

这是一个很经典的问题:假如我现在有3种硬币:1分、2分、5分。然后我要用这三种硬币凑成14分钱,有多少种组合方式? 以3分为例,有两种:3个1分的,或者1个2分加1个1分。有人会说,那还可以"1个1分加1个2分"。哦不,这个其实和1个2分加1个1分是一样的,这种不能被重复计数。

这个问题该怎么用程序解决呢?

如果我们用f(x,n)表示待求解的问题。x代表需要凑成多少分,n代表可用的硬币种类中面值最大的。

那么原题就是要求f(14,5)。

经观察发现,f(14,5) = f(9,5) + f(14,2)。

即,f(x,n) = f(x-n, n) + f(x,prev(n))。 其中prev(n)指硬币种类中,比n略小的那种硬币。即prev(5)=2, prev(2)=1。

再加一个边界条件:

f(0,n) = 1 对于任意的n >=0

f(x,1) = 1 对于任意的x >=0。

这个问题就可以递归求解了。

f(14,5)=f(14,2)+f(9,2)+f(4,2) = 8 + 5 + 3= 16。

实际上这是一个动态规划问题。

UVA上有两道类似的题:

674 - Coin Change

Suppose there are 5 types of coins: 50-cent, 25-cent, 10-cent, 5-cent, and 1-cent. We want to make changes with these coins for a given amount of money.

For example, if we have 11 cents, then we can make changes with one 10-cent coin and one 1-cent coin, two 5-cent coins and one 1-cent coin, one 5-cent coin and six 1-cent coins, or eleven 1-cent coins. So there are four ways of making changes for 11 cents with the above coins. Note that we count that there is one way of making change for zero cent.

Write a program to find the total number of different ways of making changes for any amount of money in cents. Your program should be able to handle up to 7489 cents.

Input

The input file contains any number of lines, each one consisting of a number for the amount of money in cents.

Output

For each input line, output a line containing the number of different ways of making changes with the above 5 types of coins.

Samples

Sample Input

11
26

Sample Output

4
13

147 - Dollars

新西兰的货币有$100, $50, $20, $10, $5 , $2, $1, 50c, 20c, 10c 和 5c 这么几种。其中$1 = 100c。

输入是很多个数字,每行一个,以0.00结束。0.00那一行不需要处理。

0.20
2.00
0.00

输出是这个金额以及它对应多少种组合方式

0.20 4
2.00 293

147这道题的代码如下:

in = fopen("input.txt", "r");
if (!in) return -1;

const uint32_t maxvalue=30000/5 + 1;
uint64_t* v1=new uint64_t[maxvalue];
const uint32_t coins[]={4,10,20,40,100,200,400,1000,2000};
const uint32_t coinsLen=sizeof(coins)/sizeof(coins[0]);
//compute for 10c;
for(uint32_t i=0;i!=maxvalue;++i){
    v1[i]=i/2 +1;
    //v1[i]=1;
}

for(uint32_t j=0;j!=coinsLen;++j){
    uint32_t c=coins[j];
    for(uint32_t i=0;i!=maxvalue;++i){
      if(i>=c) v1[i]+=v1[i-c];
    }
}

int c;
while(true){
int num = 0;
while((c=getc_unlocked(in))!=EOF){
  if (isspace(c)) {
    break;
  } else if(c=='.'){
    continue;
  } else if(c>='0' && c<='9'){
    num = num * 10 + c - '0';
  } else
    throw std::runtime_error("error input");
}
if(num==0) break;

std::cout<<std::setiosflags(std::ios::fixed)
  <<std::setprecision(2)<<std::setw(6)<<num/(double)100
  <<std::setw(17)<<v1[num/5]<<"\n";     
}

fclose(in);

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