[转载]莫斯科大学数学力学系数学分析教学大纲

数学分析
第一学期
1。集合,集合的Cartesian积,函数与映射,集合的等价,有理数集的不可数性。
2。集合及其子集蔟的不等价性的Cantor定理。连续统的不可数性。
3。自然数,自然数的公理与运算,数学归纳原理。
3。实数的小数表示,Archimedes公理,有界数集的确界存在性。
4。集合的可分理性引理,数集的分割引理。
5。实数域的唯一性原理,实数域的完备性。
6。数列,无穷大与无穷小数列及其性质,Bernoullis不等式与Newton二项式。
7。收敛数列与他们的算术性质,Stolz定理。
8。求代数方程根的迭代方法。
9。复合收敛数列的Toeplitz变换,Toeplitz定理,数列极限的Cauchy定理,数列的Cau
chy和,Abel定理。
10。极限的定义,单调数列,Weierstrass定理。
11,无理数与有理数。
12。子列的极限,Bolzano-Weierstrass定理。
13。数列收敛的Cauchy准则。
14。函数极限的Cauchy定义,无穷小函数,函数极限的有限性,单调函数极限的性质,
连续函数的算术运算。
15。函数极限存在的Cauchy准则。
16。函数极限的Cauchy与Heine定义的等价性。
17。复合函数的极限。
18。函数在某一点上的连续,连续函数的算术运算,三角函数与指数函数的连续性。
19。一些重要的极限。
20。单调函数的间断,单调函数的不连续性。
21。反函数的连续性,初等函数的连续性,Kepler方程解的连续性。
22。区间上连续函数介值的Cauchy定理。
23。区间上连续函数一致连续性的Cantor定理。
24。Khinchin归纳原理,数直线上的连通集,连续函数的连通性,。
25。函数可微性的概念及其导数,函数连续性与可微性的联系,反函数与复合函数的导
数,Kepler方程解的可微性。
26。导数的和、差、积、商,Leibnitz公式。
27。增函数的Darboux定理,Rollet定理,导数的中值定理。
28。Cauchy定理与Lagrange定理。
29。常数、单调与严格单调函数的判断准则。
30。l'Hopital第一公式,具有Pean余项的Taylor公式。
31。l'Hopital第二公式。
32。具有Lagrange余项的Taylor公式,初等函数按Taylor公式展开。
33。函数极值的判断与必要条件。
34。函数的的凸性,奇点,渐进线,Jensen不等式。
第二学期
1。Riemann积分,有界函数的Riemann积分。
2。omega和,区间上函数可积性的Riemann准则。
3。函数的Riemann可积性的三个准则的等价性。
4。利用区间的一致分割判断函数的Riemann可积性。
5。Riemann可积函数类(连续性、单调极限,区间上极限的点状连续)。
6。定积分的性质(线性,模的可积性,函数的商与积,积分的模不等式,非负函数的积
分,积分的单调性)。
7。复合函数的可积性定理,积分作为函数的上(下)极限和,此函数的连续与可微性理
论。
8。不定积分,Newton-Leibnitz公式,Euler与Abel求和公式,Stirling公式。
9。变量替换公式与定积分的分部积分法。
10。第一与第二积分中值公式,在光滑函数情况下证明积分中值定理。
11。积分形式的Taylor公式。
12。积分的渐进计算公式,抛物线内插。
13。反常积分收敛性的Cauchy准则与二阶条件。
14。反常积分的绝对与条件收敛。
15。简单光华曲线的弧长,曲线弧长的可微性。
16。边界为可求长曲线的图形的可分离性原理。
17。利用Jordan曲边梯形判断可积性。
18。拓扑空间,拓扑空间的概念,例子,拓扑基,数列的收敛性,开集与闭集,开集的
基本性质,拓扑空间的子空间。
19。度量空间与欧氏空间,空间上紧致集的判断。
20。空间上数列的收敛性引理,复合映射。
21。度量空间上的紧致性,n维度空间上立方体的紧致性。
22。函数的上(下)确界定理与极限存在性,紧致集上函数的连续性,紧致集上连续函
数的中值定理。
23。紧致集上连续函数的一致收敛定理。
24。拓扑空间上映射的极限的概念,拓扑空间上的极限的性质,复合映射的极限,Haus
dorff空间与赋范空间上映射的极限。
25。拓扑空间上的连续映射,例子,连续函数的上极限与下极限,复合函数的连续性。
26。拓扑空间的连通集与连通映射。拓扑空间上紧致性的判据,紧致集的性质,半连续
函数,Hausdorff空间上的紧致性,分离性定理。
27。映射的微分,偏导数与函数可微性的必要条件,可微性的二阶条件。
28。复合函数的可微性定理,一阶微分的不变性,Jacobian矩阵。
29。混合导数的Schwarz和Young定理。
30。具有Pean和Lagrange余项的多元函数的Taylor定理。
31。多元函数极值存在的必要性条件,极值的二阶条件。
32。隐函数定理,映射的隐函数定理。
第三学期
1。数列和的余项,级数收敛的必要条件,级数收敛的Cauchy判据,级数收敛的判断。非
负级数收敛的判断,比较判别法。
2。d'Alembert、Cauchy、Raabe判别法,广义积分的Cauchy-MacLaurin判别法。
3。数项级数的Leibnitz、Abel、Dirichlet判别法。
4。级数重排的绝对收敛定理,条件收敛级数的Riemann定理。
5。二重乘积级数的绝对收敛定理,二冲乘积级数的Mertens定理。
6。多重级数的绝对收敛定理。
7。函数项级数和的连续性定理,函数项级数的一致收敛的Cauchy判据。
8。函数项级数一直收敛的Weierstrass、Abel、Dirichlet判别法。
9。区间上非负连续函数级数的一致收敛的判据与一致收敛的Dini定理。
10。函数项级数的可积性定理,可微连续函数项级别数的可微性定理。
11。基上的二重与多重极限。
12。幂级数收敛半径的Cauchy-Hadamard定理,开收敛区间上幂级数和的连续性定理,开
收敛区间上幂级数连续性的Abel定理,幂级数的乘积。
13。幂级数的可微性与可积性定理,幂级数的逐项求导和逐项求积分,函数展开成Tayl
or级数,初等函数展开成Taylor级数。
14。无穷乘积的性质,gamma函数与Euler函数的无穷乘积定义,Euler公式,gamma函数
的函数方程。
15。Weierstrass逼近定理。
16。幂级数一致收敛的几个特征。
17。含参变量积分。
18。含参变量积分一致收敛的Weierstrass、Abel、Dirichlet判别法。
19。含参变量积分的连续、可微、可积性定理。
20。无穷限积分的理论,Dirichlet积分。
21。gamma与Euler函数的积分定义,Stirling公式。
22。三角多项式逼近定理,Poisson求和公式。
23。正交函数系,严格点状连续函数的Fourier系数的Bessel不等式,Lyapunov-Parsev
al等式,正交函数系的完备性。
24。三角函数系的封闭性定理。
25。严格点状光滑函数的Fourier级数的一致收敛定理。
26。Dirichlet核,Riemann引理,局部性原理。
27。Fourier级数收敛的Jordan与Dirichlet判别法。
28。Fourier级数收敛的Dini和Lipschitz判别法。
29。正弦函数的无穷乘积,余切函数的级数和定义。
30。Fejer和,多项式逼近定理的三角函数多项式形式,正弦与余弦函数解析定义。
31。发散级数求和,指数级数的求和方法,Tauber理论,算术平均求和方法,Poisson-
Abel和Cesaro方法的比较,Hardy-Landau定理,广义和的应用。
32。Voronogo方法、Cesaro一般化方法,Borel方法、级数的Euler反演。
33。Bessel函数,母函数,Bessel函数的积分形式,Bessel函数的性质。
34。Fourier级数与Fourier积分,正交系,圆盘上的热传导。
第四学期
1。作为基的极限的Riemann重积分,多重函数可积性的Riemann准则。
2。多重函数可积性判据的等价性。
3。多重函数可积性的特殊判别发及其与一致分割的联系。
4。Jordan曲边图形判断可积性。
5。两种多重积分定义的等价性,Jordan测度,
6。多重积分的基本性质(线性、中值定理、可加性、积分不等式),化多重积分为累次
积分。
7。Riemann多重积分的Lebesgue可积性判据。
8。利用紧致凸集上光滑映射的微分估计变量替换的误差,光滑映射的像的凸性定理,多
重积分的变量替换。
9。第一与第二形式的反常积分,非负函数第一形式反常积分的比较判别法。
10。曲面的面积,用二重积分表示曲面的面积。
11。第一与第二型曲线积分的性质,化曲线积分为定积分。
12。闭曲线上第二形式的曲线积分,Green公式。
13。Stokes公式。
14。Gauss-Ostrogradsky公式。
15。微分形式的变量替换,流形的定义。
16。子流形,子流形上的光滑映射。
17。微分形式,微分形式的变量替换。
18。切空间。
19。流形的定向,流形上微分形式的积分。
20。第一、第二形曲面积分,与微分形式的积分的关系。
21。一般的Stokes公式。
22。有势向量场,曲线积分的道路无关性的条件。
23。向量场的散度、梯度和旋度,正交坐标与曲线坐标上向量分析的基本公式。
参考书目:
1,V.A.Zorich,数学分析,莫斯科不间断数学教育中心,2002。
2,J.Dieudonne,Elements de Analyse,Gauthier-Villars,1969。
3,Valle Possin,Cours de Analyse Infinitesimale,Gauthier-Villars,1903。
4,S.M.Nikolsky,数学分析教程,科学出版社,1991。
5。L.D.Kudryavsev,数学分析教程,物理数学书籍出版社,1989。
6,A.N.Kolmogorov、P.S.Aleksandrov,实变函数论引论,科学出版社,1938。
7,L.Schwartz,Cours de Analyse,Hermann,1981。
8。B.P.Demidovich,数学分析习题集,科学出版社,1990。
9。L.D.Kudryavtsev,数学分析习题集,科学出版社,1984。

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