unitary matrix

计算矩阵的特征值是一件困难的事情。

由于相似的矩阵具有相同的特征值,所以我们能想到的最直接的方式就是通过一系列相似变换把矩阵变化到一个易于求解的形式。

3个易于求解的形式:
1、对角阵。其对角线上的元素就是其特征值
2、上/下 三角阵。其对角线上的元素就是其特征值。对角阵其实也是特殊的对角阵。
3、三对角矩阵,可以方便的化为上面两种形式。三对角矩阵是特殊的Hessberg矩阵。

而相似变换要求矩阵的逆,而矩阵的逆是难求的。特殊的矩阵的逆是容易求的,例如Unitary matrix,它的逆就是它的Hermite伴随。
Unitary matrix组成的相似变换也够成一个群,就是Unitary group,它是一个闭集并且有界,所以它是一个紧集。

Unitary matrix中最重要的两类就是Givens Matrix和Househoulder Matrix,分别对应几何学上的相似变换和对称变换。

一个重要的定理是,对于任何一个矩阵A,总是可以找到一个unitary matrix U,使得A通过U相似于一个上(下)三角阵。即
UA=RU,其中R是上(下)三角阵,U是unitary matrix.

一个特殊的情形是,实对称阵可以通过一个实unitary
matrix相似到一个对角阵。但是对于一般的矩阵不行,因为它的特征值可能是复数。如果这样可以的话,那么那个对角阵上的对角线的元素就应该有复数,而实际上,实矩阵之间的相似变换是不可能出现复数的。

但是它可以通过实unitary matrix 相似到一个Hessberg
matrix,更特别点说,相似到一个三对角矩阵,而这就是Givens变换求矩阵特征值的基本思想。

而QR方法,就是通过一系列Householder变换把矩阵的列向量单位正交化,采用的就是传统的G-S单位正交化方法,在这里,就是QR方法,也就是很多个Householder变换。

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