数学学了什么

刚才在床上证任何一个半正定矩阵都可以写成另一个半正定矩阵的k次方,不仅想到刚开始学数学分析的时候,证明任何一个非负实数都可以写成另一个非负实数的k次方(且这样的实数是唯一的),简单点说,就是要证任何非负实数的n次方根都是存在且唯一的。这种东西在初中生看来都是显然的问题。你让一个初中生计算4的正平方根是多少,它绝对会告诉你
"因为2*2=4,所以4的正平方根就是2"

(你怎么知道3就不是?1就不是?你怎么知道这个问题你已经回答完了,这个问题没有其它的答案?)

如果这个问题交给一个数学系的学生,则首先得证明4的正平方根是存在的,然后证明4的正平方根是唯一的,然后计算出来它等于2,然后告诉你,2是这个问题的唯一解。

昨天上课的时候从抽屉里面拿了一本高等数学的考研题集来看,非常的无奈。非常的讲究技巧性。无论什么东西要求极限,先看能不能做同阶无穷大(无穷小)替换,然后就调洛必达法则上下求导,然后就告诉人,"看,我做出来了。"最可恨的是那作者在题目后面点评:
"易犯错误:考生对极限运算和同价无穷小不熟悉,导致得出结果为0或者说极限不存在"

这就完全是一种逻辑上的颠倒,把前提当结论。

那天,小蓓让我帮忙写一些东西,来举例说明一个中学生是多么多么的热爱数学。她所能想到的,就是模糊数学啊、统计学啊这些能在实际当中切实用到的数学分支,来激发中学生的兴趣。而我费了好大的劲想她解释,对于一个中学生水平的人而言,要想在数学方面继续走下去,那么必须先从"实数为什么是连续的"、"实数为什么比有理数多"这些问题问起。

昨天我和阿勇出去吃饭,走在路上还在谈到了数学。他说他发现现在银行有自动存款机,他觉得好先进。于是我们就讨论怎么自己开发一个自动存款机。首先想到的是要对输入信息进行模糊聚类,这样才能分辨出10元、50元、100元的钞票。而我们刚刚在学模糊数学的时候学过模糊聚类,而我现在也正在和马老师做trust
region和聚类分析。然后感叹一下,数学真的是无处不在,我们学的东西都是很有用的。可惜……可惜……国内有实力开发自动取款机的公司太少。就算我们开一个这样的公司,2个山里来的穷孩子,也没有渠道可以卖出去。

我后来才明白我之前走了不少弯路。例如先学MFC,后学怎么写C++控制台应用程序、CGI.
大一的时候就在学神经网络、遗传算法。到了大四才发现那些所谓的很高深的仿生学算法,还不如一个最速下降或者牛顿迭代来的实在。

其实错就错在,该从基本学起。学什么是学概率论、学什么是信息熵、学数值分析、学数值矩阵运算、学数理逻辑、学计算机算法……
一步步,中间一步踏空了,就腾云驾雾了。

p.s.刚发现,最优化的理论核心就是Taylor定理,仅仅就是这么简单一个东西。

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