数学对象是天然存在的还是被构造出来的?

数学对象是天然存在的还是被构造出来的?这个问题差不多是在问数学对象到底是不是一个客观实在。

  • 对于任何两点,我们能够画一条直线通过这两点。
  • 任何两点之间存在一条直线。

这两句话在文字含义上略有区别,但不是我正在思考的。我想说的是另外一个新了解到的东西:我们在定义一个数学对象的时候是否用到了被包含对象所在的集合?

举个例子:如果把“中国首富”,定义为中国最有钱的人。看上去似乎是没有问题的。但是如果你把集合A定义为所有不属于A的集合,那么就有问题了。(参见罗素悖论)

于是有人提出:我们不能在定义一个数学对象的时候用到包含它的集合。数学对象是构造出来的,不是天然存在的。

举个例子 :数学分析的一开始 ,有两个重要的概念,上界和上确界。

上界就是说,一个数,比某个集合中的所有数都大(或等于),那么这个数就是这个集合的上界。

上确界就是说,一个集合的所有上界中,最小的一个。比如,2是{x<0}的上界,3也是{x<0}的上界,但是它们都不是{x<0}的上确界,0才是。

可是,数学分析课本才不是这么定义上确界的。

课本是说,对于集合S,如果存在一个a,a是S的上界,并且对于任何小于a的数,总能在集合S中找到一个数大于a,那么a就是S的上确界。

这个定义并未假设S的上界存在,也未假设S的上确界存在。事实上,这才是遇到习题中确界类问题的时候,一般的证明思路。

这让我想起上个月去支教的时候,和志愿者们聊直言命题的存在性。

因为,所有的S都是M,

又因为,所有的M都是P,

所以,有S是P。

这个推论对吗?

这个问题在于,全称直言命题是否具有存在性含义。全称直言命题是指“所有的S都是P”以及“没有S是P”这两类命题。

特称命题是有存在性的。如果全称命题没有存在性含义,那么两个全称命题不能得到一个特称命题作为结论。这是经典逻辑和近代的直觉主义的一个重要争执。

而前面的争论在于,我们在描述一些数学定理的时候,比如,S的上确界是S的上界中最小的一个,这种定义方式是否有问题?假如S的上界是空集呢?

若你认为某些数学概念是天然存在的,最前面说的那种循环定义,其实也可被接受。比如中国首富。

若什么都要被构造出来……我第一次认识到这个事情是在学习Coq的时候。发现,有些定理是在它的体系能证明不了的。

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